Sommaire
Introduction
rapport-APHEC-math-2010.pdf Comme tous les ans, la commission mathématiques de l’APHEC regarde d’un oeil critique
les sujets du millésime, pour rendre un avis a posteriori. Mais alors se pose inévitablement la
question : qu’est-ce qui fait la qualité d’un sujet de mathématique ?
La beauté d’un sujet de mathématique tient dans divers ingrédients : dans l’originalité du
thème traité qui doit intéresser voire piquer la curiosité du lecteur, dans l’élégance et la finesse
de la résolution des difficultés mathématiques rencontrées, ou encore dans l’enchaînement harmonieux
des parties, des questions ou des indications. Toute personne qui cotoie intimement
le monde des mathématiques est inévitablement sensible à cette beauté. Les professeurs préparationnaires,
au même titre que les concepteurs, attendent ou recherchent cet idéal de beauté,
veulent l’atteindre, le partager avec d’autres.
En sport, la beauté du geste ne vaut rien si l’efficacité n’est pas au rendez-vous, et l’on
pourrait en dire de même d’un sujet de concours. Qu’est ce qu’un bon sujet alors ? C’est avant
tout un sujet qui permet aux candidats de s’exprimer, de mobiliser les connaissances assimilées
lors des deux années de préparation en vue de la résolution d’un problème ou d’un exercice.
C’est aussi un sujet qui doit servir à trier petit à petit les candidats, afin que l’épreuve valorise
graduellement les candidats en fonction de leur perspicacité et leur niveau. Enfin, c’est un sujet
qui doit doit permettre aux étudiants de pouvoir se rattraper lors des changements de parties
ou d’exercices, afin de ne pas les juger uniquement sur une partie mal débutée, ou bien sur une
trop faible partie du programme.
La notion de difficulté n’est pas antinomique avec un beau sujet, ni avec un bon sujet, bien
au contraire. C’est une bonne connaissance du niveau des candidats qui permet de jauger au
mieux les exigences que l’on est en droit d’espérer des candidats, et donc de calibrer le niveau de
difficulté mathématique. La variété des épreuves doit être une garantie que tous les candidats
trouveront une épreuve à leur mesure. La disparition de l’épreuve ESC dans les voies E et S
est à ce titre fort dommageable. C’est pour aider à mieux apprécier le niveau mathématique
des élèves de la filière qu’un avis a posteriori des professeurs préparationnaires sur les sujets de
concours est nécessaire.
La recherche de la perfection d’un sujet passe immanquablement par une chasse à l’imperfection.
Les écueils à éviter sont innombrables : excès de calculs, absence de progressivité, notations
ou rédactions maladroites ou imprécises, sans parler du cauchemar de tout concepteur : l’erreur d’énoncé !
Si la maîtrise de nouvelles notions est la preuve d’une aisance mathématique certaine, il ne
faut cependant pas croire qu’en introduisant une définition ou un résultat hors du programme,
les élèves pourront en assimiler toutes les subtilités, même après un ou deux exemples introductifs.
Cette technique d’élaboration de sujet, qui consiste à viser le “beau” en introduisant
des nouveautés, est certainement louable dans l’intention, mais est à utiliser avec délicatesse
et parcimonie. Les mathématiques sont une école d’abstraction, de rigueur, où chaque nouvelle
notion est une falaise à escalader, dont la hauteur et la difficulté, en un mot l’accessibilité, sera
fonction du savoir et des capacités de chaque candidat. En ce sens, le programme est déjà en
lui même un beau parcours d’obstacles.
Le sujet idéal est celui qui fait preuve d’une démarche esthétique réussie tout en répondant
aux exigences, plus pragmatiques, d’efficacité pour le fonctionnement du concours, et qui, enfin,
ne souffre d’aucune malformation congénitale. La recherche d’un sujet proche de la perfection,
le plus adapté possible, celui qui fera unanimité, est un art délicat, nous espérons tous nous en
approcher au plus près avec les sujets futurs.
Voie Economique
ECRICOME 2009 voie E
Nous apprécions que l’énoncé balaye largement les programmes de première et
deuxième année (y compris le PASCAL).
Malgré les qualités de l’exercice II, nous regrettons que les deux autres demandent
autant de calculs.
Le simple fait de placer l’exercice le plus classique (exercice 2) au début de l’énoncé
aurait davantage mis les candidats en confiance.
L’enchaînement des exercices devrait donc permettre bien trier ceux des candidats
qui ne se seront pas laissés déstabiliser par l’exercice I.
EML 2010 voie E
Sujet adapté aux élèves de la voie économique, qu’il sera cependant difficile de finir
en 4 heures.
HEC 2010 voie E
Le sujet est adapté, intéressant, guide les candidats, donne les résultats intermédiaires ;
il couvre une grande partie du programme, avec une petite question d’algorithmique.
Mais on pourra regretter que ce soit la longueur, excessive, qui soit discriminante plus
que la difficulté graduelle des questions.
EDHEC 2010 voie E
Le programme des deux années de préparation est passé en revue dans ce texte qui
fait la part belle à l’informatique et paraît adapté en longueur comme en difficulté au
public visé.
À noter que le concepteur a visiblement souhaité faire réfléchir les candidats par des
formulations de questions imposant parfois la démarche ; voir par exemple exercice 3
question 3)b) ou problème partie 1 question 1)b).
ESSEC 2010 voie E
Un sujet intéressant, de longueur raisonnable, bien adapté à la voie économique. Un
énoncé composé de questions classiques accessibles à la majorité des candidats et de
questions plus fines ou ouvertes qui permettent de distinguer les meilleurs.
ESSEC 2010 voie E math 2
L’épreuve porte dans sa globalité sur les probabilités, et plus précisément sur les
variables à densité. Elle comporte 3 parties dont le niveau de difficulté est croissant.
Le côté progressif de la difficulté est une des principales qualités de l’épreuve. Les
correcteurs ne s’étonneront pas que certaines questions, voire certaines parties soient
boudées par les candidats d’une voie eco peu adaptée au style de l’épreuve.
Option Scientifique
ECRICOME 2010 voie S
Ce sujet est bien construit par rapport à notre programme de concours : il aborde
beaucoup de parties différentes du cours (on pourrait dire même qu’il y a de tout),
avec certaines questions d’application directe du cours, d’autres nécessitant un peu
plus de réflexion, et certaines (peu nombreuses heureusement) un peu trop théoriques
pour le public visé. Son état d’esprit est également bien adapté à nos étudiants. Son
principal défaut est d’être très (trop) long, mais si le barème est adapté, cela n’est
pas forcément pénalisant pour un concours.
Dans les questions proposées, il y a largement de quoi occuper avec succès un étudiant
moyen correspondant au profil écricome. Malgré ses petits défauts, ce sujet aura rempli
de façon satisfaisante son rôle de sélection des candidats.
EM LYON 2010 voie S
Cette épreuve est constituée de deux problèmes de longueur assez équilibrée, le premier
portant principalement sur des notions d’algèbre linéaire et de probabilités discrètes, et
le second portant sur de l’analyse. Le sujet, peut-être un peu long, fait principalement
appel à des notions du programme de première année (algèbre linéaire, suites et séries,
étude de fonctions, probabilités discrètes). Les intégrales impropres constituent la
seule notion de seconde année abordée dans le sujet. Les deux problèmes sont d’une
difficulté progressive. Ils comportent à la fois des questions simples ou proches du
cours qui ont dû permettre de valoriser un travail sérieux, mais aussi des questions
plus techniques comportant peu d’indications permettant aux meilleurs candidats de
se démarquer. Notons que dans le premier problème, un certain nombre de questions
ont dû départager les candidats du fait du temps perdu ou gagné selon la méthode de
résolution choisie. Malgré la grande diversité d’écoles utilisant cette épreuve, le sujet
de cette année a dû pouvoir jouer pleinement son rôle de sélection des candidats.
HEC 2010 voie S
Ce problème est très long, sans que ce soit un avantage pour les candidats. En effet,
repérer les questions les moins difficiles n’était pas évident, cet énoncé souffrant de
nombreux défauts. Trop peu de questions font appel à une connaissance et une bonne
maitrise du programme. Ce problème permet de détecter seulement les candidats
capables d’assimiler des notions nouvelles et abstraites, puis de les manipuler aussitôt,
démarche beaucoup plus courante en prépa scientifique au niveau ENS qu’en ECS.
Il y a eu un effort pour rechercher un thème original et adapté à la filière, mais le
passage à l’obtention d’un sujet original et adapté a été globalement raté.
Ce sujet semble inadéquat pour sélectionner de manière la plus fiable possible les 600
admissibles à HEC et encore moins les 1200 admissibles à l’ESCP.
Espérons que les concepteurs ne se draperont pas dans leur dignité en refusant toute
critique, et qu’ils offriront aux futurs candidats un sujet qui leur permette de défendre
raisonnablement leurs chances.
EDHEC 2010 voie S
Ce sujet, de facture classique et de longueur très raisonnable, aborde la quasi totalité
des thèmes figurant au programme des deux années et permet aux candidats
sérieux mais non nécessairement brillants de s’exprimer pleinement. Il semble donc
bien adapté au profil du candidat moyen de cette filière et correspond à ce qui avait
été annoncé suite à la disparition de l’épreuve ESC. Le seul petit point noir est la
question d’informatique qui est bien trop facile.
CCIP 2010 voie S
Le sujet, consacré à la démonstration de quelques propriétés de la fonction Gamma
par le biais de méthodes probabilistes était long, (41 questions), et, à l’image de
ceux des années précédentes, de difficulté très soutenue, demandant une maturité
mathématique hors d’atteinte des meilleurs candidats pour être résolu globalement
dans le temps imparti.
On peut déplorer plusieurs défauts majeurs de conception :
- La seconde moitié du problème est fondée sur des manipulations à la fois inhabituelles
et sophistiquées faisant intervenir la notion “avoir même loi” pour deux
variables aléatoires sans que les hypothèses permettant ces manipulations ne soient
explicitées.
- Les hypothèses d’indépendance données au début de la partie II sont insuffisantes,
rendant problématique la résolution des questions qui suivent, alors même que ce caractère
restrictif n’est pas nécessaire pour établir les résultats que le problème s’est
assigné. Cela aura pu gêner les candidats entre autres dans la question 8.b.
- La question 14.c, question clé dans l’architecture du problème ne semble pas pouvoir
être traitée correctement grâce aux outils mis en place dans la question 4.c.
Au chapitre des points positifs, notons que des questions élémentaires de rappels de
cours, et surtout le fait que le sujet comporte plusieurs questions totalement indépendantes
sur des aspects variés du programme (suites séries, variables aléatoires à
densité, convergence en probabilité et en loi, estimation) devraient permettre de départager
correctement les bons et très bons candidats. Mentionnons également des
questions d’algorithmique, sans difficultés techniques, mais demandant une bonne
compréhension du cours de mathématiques.
Enfin, notons que le thème choisi (utilisation des probabilités pour montrer un résultat
d’analyse) est indéniablement intéressant, mais on peut regretter que, depuis
quelques années, cette épreuve ne propose plus la modélisation d’un phénomène régi
par l’aléatoire et le risque.
ESSEC 2010 voie S
Ce sujet est tout à fait adapté et abordable par les élèves présentant l’école ESSEC.
Pour réussir un tel problème, les candidats devaient avoir une maîtrise correcte du programme
bien qu’ils soient très guidés. Certains raisonnements sont un peu répétitifs,
en particulier beaucoup d’intégrations par parties sont à faire.
Option Technologique
ECRICOME 2010 voie T
Aux réserves près sur la deuxième partie de l’exercice III, il s’agit d’une excellente
épreuve, de longueur raisonnable, conforme au programme, couvrant une large partie
de celui-ci. Elle doit permettre de départager les candidats et donner aux élèves sérieux
une grande chance de réussir.
ESCP-Europe 2010 voie T
En conclusion, l’épreuve recouvrait bien l’ensemble des grandes parties du programme.
Les énoncés étaient progressifs, les questions plus délicates étant situées vers la fin des
exercices, ce qui permettait à un candidat moyen de tirer son épingle du jeu, et aux
meilleurs de briller.
Globalement, l’épreuve paraît longue ; ceci n’est pas anormal, car il convient de tenir
compte de ce que cette épreuve sert à sélectionner des candidats pour un grand nombre
d’écoles, parmi lesquelles figurent les meilleures du tableau.
L’épreuve paraît ainsi bien adaptée aux candidats de la voie technologique.
ESC 2010 voie T
Pour conclure, il s’agit d’un bon sujet, équilibré, recouvrant une grande partie du programme,
et parfaitement adapté aux candidats de la voie technologique. Une réserve :
ni la fonction ln ni la fonction exp n’apparaissent. . . Les étudiants sérieux ont l’opportunité
de réussir correctement cette épreuve, les quelques questions plus difficiles
devraient permettre aux meilleurs de faire la différence. Incontestablement ce sujet
est dans l’esprit du programme de la voie technologique.
La commission de Mathématiques de l’APHEC
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